福师21秋《实变函数》在线作业二[标准答案]

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福师实变函数在线作业二
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

2.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。

3.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].

4.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

5.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

6.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].

7.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0.

8.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

9.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

10.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

11.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。

12.闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.

13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

14.若f∈BV,则f有界。

15.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

16.设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

17.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

18.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.

19.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.

20.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

21.测度为零的集称为零测集.

22.积分的引进分为三个递进的步骤:非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分.

23.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞

24.对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集.

25.若|f|和f^2都是有界变差,则f为有界变差.

26.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

27.零测度集的任何子集都是可测集.

28.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.

29.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

30.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

31.可数集的测度必为零,反之也成立.

32.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

33.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

34.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.

35.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).

36.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

37.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞

39.若f∈L(X),则
A.f在X上几乎处处连续
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

40.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.单调函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数

41.下列关系式中不成立的是( )
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)

42.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.A,B是两个集合,则下列正确的是( )
A.f^-1(f(A))=A
B.f^-1(f(A))包含A
C.f(f^-1(A))=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)

44.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性

45.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A.广义R可积
B.不是广义R可积
C.L可积
D.不是L可积

46.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数

47.若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)

48.若f∈AC[a,b],则( )
A.f∈C[a,b]
B.f∈BV[a,b]
C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D.f∈Lip[a,b]

49.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg

50.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数

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