福师21秋《实变函数》在线作业一[标准答案]

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福师实变函数在线作业一
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

2.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.

3.若f∈BV,则f有界。

4.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.

5.g的连续点是L点,但L点未必是连续点.

6.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

7.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

8.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

9.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

10.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.

11.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

12.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.

13.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

14.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。

15.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。

16.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

17.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].

18.若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV.

19.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

20.f,g∈M(X),则fg∈M(X).

21.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

22.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。

23.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).

24.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.

25.零测度集的任何子集都是可测集.

26.闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.

27.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点.

28.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

29.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

30.测度为零的集称为零测集.

31.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

32.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

33.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

34.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

35.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

36.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.

37.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.下列关系式中不成立的是( )
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)

39.开集减去闭集其差集是( )
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集

40.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞

41.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件

42.若f∈L(X),则
A.f在X上几乎处处连续
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数

44.设f为[a,b]上增函数,则f为( )
A.几乎处处可微
B.L可积
C.f'可积
D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

45.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性

46.A,B是两个集合,则下列正确的是( )
A.f^-1(f(A))=A
B.f^-1(f(A))包含A
C.f(f^-1(A))=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)

47.若f不可测,g可测,则下列正确的是( )
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测

48.设f为[a,b]上减函数,则f为( )
A.有界函数
B.可测函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数

49.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数

50.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg

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